선형독립

벡터의 생성(Span) 시스템

벡터의 기본 연산을 사용해 새로운 벡터를 생성하는 수식-> 두 개 이상의 벡터를 각각 늘리거나 줄인(스칼라 곱) 후, 이들을 서로 더하는 과정

선형 의존과 선형 독립 

선형 의존 (Linear Dependence): "중복된 정보"

집합 내의 벡터 중 적어도 하나가 다른 벡터들의 선형 조합으로 표현 가능한 상태

다음 수식을 만족하는 0이 아닌 계수가 존재하면

 

 

기하학적 의미: 벡터를 아무리 추가해도 공간의 차원이 늘어나지 않는다.

• 평면 위에 벡터 두 개가 있는데, 세 번째 벡터를 가져왔더니 그 평면 위에 딱 붙어 있는 경우.
• 이 세 번째 벡터는 새로운 공간을 '생성(Span)'하는 데 아무런 기여를 하지 못한.

선형 독립 (Linear Independence): "필수적인 구성원"

어떤 벡터 집합에서 단 하나도 다른 벡터들의 조합으로 만들어낼 수 없는 상태 -> 모든 벡터가 각자 고유한 방향성을 보태고 있는 상태

오직  계수의 값이 0이면 선형 독립이다 

기하학적 의미: 벡터를 추가할 때마다 공간의 차원이 확장

• 벡터 1개: 직선 (1차원)
• 여기에 독립적인 벡터 1개 추가: 평면 (2차원)
• 여기에 또 독립적인 벡터 1개 추가: 공간 (3차원)

2. 기저(Basis)와 차원(Dimension)

기저(Basis) : 벡터 공간 내 모든 벡터를 생성할 수 있는 선형 독립인 벡터들의 집합

기저 벡터(Basis vector) : 기저 집합에 속한 원소

EX 기저 벡터의 수가 2개면 2차원이다 

차원(Dimension) : 기저 집합이 가지는 원소의 수