2026. 2. 6. 12:02ㆍ수학
실수 집합의 곱집합(R X R)을 통해 공간을 정의하고, 이를 벡터 공간이라고 한다
위치 vs 변위: 게임 프로그래밍에서 좌표 (x, y)는 특정 지점을 나타내기도 하지만, 원점으로부터 그 지점까지의 '이동 경로*를 나타내기도한다
벡터 연산
1. 벡터의 덧셈 ( 평행이동)
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
게임에서의 활용 : 캐릭터의 현재 위치 벡터에서 속도 벡터를 더해 다음 프레임의 위치 계산할 때 사용
2. 스칼라 곱( 크기 조절)
- K (a,b)=(ka,kb)
벡터에 실수 K를 곱하는것은 방향을 유지한 채 길이만 늘리거나 줄이는것을 의미
게임에서 활용 : 이동 방향에 이동 속도를 곱하여 최종 속도벡터를 만들때
벡터의 크기
벡터의 크기 = 원점으로부터의 최단 거리
단위 벡터 : 크기가 1인 벡터
벡터의 크기의 역수를 곱하면 단위 벡터가 만들어진다
벡터의 8공리 -> 어떤 집합을 벡터 공간이라고 부르기 위해 반드시 지켜야 하는 규칙
1.덧셈의 교환법칙 (u + v = v + u)
- 의미: 순서를 바꿔서 더해도 결과는 같다.
2.덧셈의 결합법칙 ((u + v) + w = u + (v + w))
- 의미: 세 개 이상의 벡터를 더할 때 어느 것을 먼저 계산해도 상관없다.
3. 덧셈의 항등원 (v + vec{0} = v)
의미: 아무런 변화가 없는 '영벡터(Zero Vector)'가 존재해야 한다.
4.덧셈의 역원 (v + (-v) = vec{0})
- 의미: 어떤 움직임을 완전히 상쇄하여 원점으로 되돌리는 반대 방향의 벡터가 존재해야 한다.
5. 스칼라 곱셈의 호환성 (a(bv) = (ab)v)
- 의미: 숫자를 여러 번 곱할 때 숫자를 먼저 곱하나 벡터에 차례로 곱하나 같다.
6.스칼라 곱셈의 항등원 ($1v = v$)
- 의미: 스칼라 1을 곱하면 벡터는 변하지 않아야 한다.
7. 벡터 덧셈에 대한 분배법칙 (a(u + v) = au + av)
- 의미: 두 움직임을 합친 것에 배율을 적용하는 것은, 각각 배율을 적용한 뒤 합친 것과 같다.
8.스칼라 덧셈에 대한 분배법칙 ((a + b)v = av + bv)
- 의미: 같은 방향으로 다른 배율의 힘이 작용할 때, 배율을 합쳐서 한 번에 적용할 수 있다.