수의 구조

수 (Numbers)의 종류

수의 종류 

기호	명칭	정의 및 특징	예시
N	자연수 (Natural)	1부터 시작하여 1씩 커지는 양의 정수	1,2,100
Z	정수 (Integers)	자연수, 0, 음의 정수를 모두 포함하는 수	−5,0,7
Q	유리수 (Rational)	분수 꼴(ba​)로 나타낼 수 있는 수	0.5,32​,−1
I	무리수 (Irrational)	순환하지 않는 무한소수 (유리수가 아닌 실수)	π,2​,e
R	실수 (Real)	유리수와 무리수를 합친 수 (수직선 상의 수)	1.5,3​,−π
C	복소수 (Complex)	실수와 허수를 모두 포함하는 가장 큰 수의 단위	2+3i,5i

 

2. 이항 연산(Binary Operation)

두 개의 원소를 입력받아 하나의 결과를 내놓는 연산

여기서 앞으로 뺄셈과 나눗셈을 덧셈과 곱셈으로 변환해서 생각을하자 

EX) A+(-B) , A *  B/1 이런식으로 

이항 연산의 특징 

 

• 닫혀 있다 (Closure): 집합 S 의 임의의 두 원소  a, b 에 대해 연산 결과인 c도 집합 S에 속해야 합니다.
• 교환법칙 (Commutative Law): a * b = b * a
• 결합법칙 (Associative Law): (a * b) * c = a * (b * c)
• 항등원 (Identity Element): 어떤 수와 연산했을 때 자기 자신이 나오게 하는 수 (덧셈의 0, 곱셈의 1)
• 역원 (Inverse Element): 어떤 수와 연산했을 때 항등원이 나오게 하는 수

공리: 이론 체계에서 증명이 필요없는 가장 기초적인 명제 -> “더 이상 쪼갤 수 없는 출발점" 이라고 생각해라 

 

군의 공리-> 더하기가 말이 되는 구조

연산하나만 있는 구조 

군의 본질

“이 연산을 아무 생각 없이 계속 써도 논리적으로 안전하다"

네 가지 공리의 의미 

1. 닫힘 (Closure)

 

a + b 를 했더니 갑자기 다른 세계로 튀면 안 됨

 

• 실수 + 실수 → 실수
• 행렬 + 행렬 → 행렬

 

 

2. 결합법칙 (Associativity)

 

(a + b) + c = a + (b + c)

 

• 계산 순서를 바꿔도 결과가 같음
• 컴퓨터에서 병렬 계산이 가능한 이유

3. 항등원 (Identity)

a + 0 = a

“아무 일도 안 하는 연산”이 존재

4. 역원 (Inverse)

a + (-a) = 0

했던 일을 되돌릴 수 있음

 

아벨 군(Abelian Group) — “순서까지 자유롭다”

a + b = b + a

 

• 대부분의 “더하기”는 아벨 군
• 벡터 덧셈, 함수 덧셈도 포함

환(Ring) — “더하기 + 곱하기를 같이 다루자”

 

• 덧셈: 아벨 군
• 곱셈: 결합법칙만 보장
• 둘 사이: 분배법칙
• a(b + c) = ab + ac

체(Field) — “사칙연산이 완전히 자유로운 세계”

체는 환 + 곱셈 역원이 있는 구조

0을 제외한 모든 원소는 나눌 수 있다

a ≠ 0 ⇒ a⁻¹ 존재

체의 의미를 한 문장으로

사칙 연산을 마음대로 쓰되, 계산 규칙이 절대 깨지지 않는 최소한의 구조

 

“스칼라”라는 말의 진짜 의미

이 값은 체의 원소다

즉:

• 반드시 실수일 필요 없음
• 복소수, 유리수, 심지어 유한체도 가능